Abelprijs voor Duitser die in één dag een wiskundige held werd

Van de ene op de andere dag veranderde de Duitse wiskundige Gerd Faltings van een onbekende hoogleraar uit Wuppertal in een ster van de internationale wiskunde. Dat was in de zomer van 1983, hij was toen 28. Faltings had een probleem opgelost waaraan al decennialang werd gewerkt: een vermoeden van de getaltheoreticus Louis Mordell. Faltings had „een schitterend stuk werk” geleverd, oordeelde Harvard-wiskundige Barry Mazur destijds in The New York Times.

De bescheiden Faltings schreef de grote media-aandacht zelf toe aan het feit dat het komkommertijd was. Nietemin bleek zijn werk een enorme impact te hebben op de verdere ontwikkeling van het vakgebied. Hij krijgt nu de Abelprijs „voor het smeden van krachtige instrumenten in de arithmetische meetkunde en de oplossing van lang bestaande vermoedens van Mordell en Lang”, aldus de Noorse Academie van Wetenschappen, die de laureaat donderdag via een livestream bekendmaakte.

Diofantische vergelijkingen

Louis Mordell (1888-1972) had zich bezig gehouden met ‘diofantische vergelijkingen’, vernoemd naar de Griek Diophantus van Alexandrië. Bij zulke vergelijkingen zoekt men, geheel in de geest van de Oudgriekse wiskunde, naar oplossingen in rationale getallen. Een getal heet ‘rationaal’ als het te schrijven is als breuk. Getallen als π of √2 zijn níét rationaal.

Voorbeelden van diofantische vergelijkingen zijn 2x² + y² = 1, x² + 2xy – 3y² = 0 en y² = x³ – 5x. Ze beschrijven een curve – in dit geval een ellips, een paar rechte lijnen, en een zogeheten elliptische kromme. De grote vraag voor wiskundigen is: hoeveel punten liggen er op zo’n curve waarbij x en y beide rationaal zijn? Dat is meestal niet direct duidelijk.

Om dit te onderzoeken, ontwikkelden wiskundigen vanaf de negentiende eeuw een geheel nieuwe kijk op zulke vergelijkingen: ze lieten ook complexe getallen (met wortels uit negatieve getallen) toe en voegden ‘punten op oneindig’ toe. Het resultaat daarvan is dat een curve verandert in een gesloten oppervlak in een vierdimensionale ruimte. Zo’n oppervlak heeft een topologische structuur met een specifiek aantal gaten. Denk aan een bol (nul gaten), een donut (één gat) of een krakeling (drie gaten).

Naarmate een vergelijking ingewikkelder wordt, krijgt het bijbehorende oppervlak meer gaten. Mordell had het idee dat als het aantal gaten twee of meer is, de vorm zo strak is ‘vastgeknoopt’, dat rationale punten vrijwel geen ruimte hebben om te bestaan: ze zijn zeldzaam en eindig in aantal. Met dit vermoeden, uit 1922, legde Mordell een verband tussen twee verschillende deelgebieden van de wiskunde: de theorie van diofantische vergelijkingen en de topologie. Maar was dat verband er ook écht? Niemand had enig idee hoe Mordells vermoeden bewezen kon worden – het gold dan ook als ‘wilde speculatie’.

Duitse tekst

Zes decennia lang bleef Mordells vermoeden – een vergelijking waarvan het bijbehorende oppervlak meer dan één gat heeft, heeft slechts eindig veel rationale oplossingen – een intellectuele uitdaging van het hoogste niveau. In die periode werden enkele resultaten geboekt, met name door Igor Sjafarevitsj en Aleksej Parsjin. Dat culmineerde in 1983 tot een bewijs, geleverd door Faltings. Zijn artikel, gepubliceerd in het tijdschrift Inventiones Mathematicae, is een van de laatste beroemde wiskunde-artikelen die nog in het Duits geschreven zijn, vlak voordat het Engels de universele standaard werd.

„Het was in 1983 verbijsterend om te zien hoe Faltings bij zijn bewijs van het Mordell-vermoeden recht op het doel afging”, reageert Gerard van der Geer, emeritus hoogleraar algebra aan de Universiteit van Amsterdam. „Hij paste nieuwe, door Grothendieck geschapen methoden uit de algebraïsche meetkunde toe om resultaten in de getaltheorie te krijgen. Faltings is een echt natuurtalent, die in zijn eentje ideeën ontwikkelt. Dat zijn methoden achteraf volstrekt natuurlijk lijken, maar echt pas achteraf, pleit voor zijn enorme talent en scherpe inzicht.”

Kort na dat artikel waarop zijn roem grotendeels berust, vertrok Faltings naar Princeton. In 1994 keerde hij terug naar Duitsland, waar hij verbonden was aan het Max Planck Instituut voor Wiskunde in Bonn. Vaste prik op woensdag was, en is nog altijd, een lunch met de getaltheoretici en aansluitend een voordracht. In de vele jaren dat Faltings er altijd bij was, was die lunch niet van nerdy humor gespeend. Faltings dronk bij de maaltijd steevast een ‘Bananenweizen’: Weizenbier vermengd met bananensap, wat heeft geleid tot de BBC: de Bonn Bananenweizen Club.

Expliciete getaltheorie

Het werk van Faltings opende een landschap van nieuwe vragen waar wiskundigen nog steeds doorheen trekken. Bijvoorbeeld: hoe bereken je een concrete oplossing? Daarvoor bestaan technieken die na Faltings’ bewijs nog heel veel verbeterd zijn door de mensen die ‘expliciete getaltheorie’ doen. In 2024 werd een congres gewijd aan problemen die met het Mordell-vermoeden verwant zijn.

De meest recente doorbraak dateert van februari dit jaar. In een nog niet officieel gepubliceerd 178 pagina’s tellend artikel geven drie Chinese wiskundigen een bovengrens voor het aantal rationale oplossingen. Dat is een precisering van Faltings’ resultaat uit 1983. Mordells vermoeden zegt dat veel diofantische vergelijkingen maar eindig veel rationale oplossingen hebben, maar Mordell gaf geen criterium om dat eindige aantal precies te bepalen.

Lees ook

Wat maakt deze twee driehoeken zo uniek?