2 uren geleden
1
Een nog niet uitgebrachte versie van de chatbot Claude van het bedrijf Anthropic heeft vooruitgang geboekt op een wiskundig record dat verbonden is aan de Riemann-hypothese. Het model verhoogde het bewezen aandeel van de zogenoemde nulpunten die op de juiste plek liggen van 41,6 naar 67,2 procent. Dat maakte het bedrijf maandag bekend.
De Riemann-hypothese tart wiskundigen al sinds 1859. Wie hem bewijst, krijgt een miljoen dollar van het Clay Mathematics Institute. Geen miljoen voor Claude, voorlopig, want wat het leverde is geen bewijs, maar een ondergrens. Die zit nog steeds ver onder de 100 procent die nodig is.
De Riemann-wat?
Misschien even een stapje terug. De Riemann-hypothese heeft te maken met priemgetallen. Dat zijn alle getallen die deelbaar zijn door zichzelf en door 1. Priemgetallen lijken willekeurig verspreid te zijn; er bestaat geen formule die beschrijft waar de volgende zit.
De Duitse wiskundige Bernhard Riemann vond in de 19e eeuw een omweg voor dit probleem. Hij keek niet rechtstreeks naar de priemgetallen zelf, maar naar een functie die verrassend genoeg alle priemgetallen bevat: de zogenoemde Riemann-zètafunctie.
Riemann vermoedde dat alle belangrijke nulpunten van die functie op één en dezelfde verticale lijn liggen. Wiskundigen noemen die lijn de kritieke lijn. Als dat klopt, blijken priemgetallen veel regelmatiger verdeeld te zijn dan op het eerste gezicht lijkt.
Het probleem is dat er oneindig veel van die nulpunten bestaan. Computers hebben de eerste drie biljoen gecontroleerd en die blijken inderdaad allemaal op de juiste lijn te liggen. Maar hoe indrukwekkend dat ook klinkt: drie biljoen is nog steeds helemaal geen bewijs voor een oneindig aantal gevallen.
Leestip: Wiskunde bewijst wat we stiekem al wisten: modetrends herhalen zich elke twintig jaar
Hoe kom je dan aan percentages?
Een oneindig aantal becijferen, is onmogelijk. Daarom proberen wiskundigen te bewijzen dat minstens x procent van de nulpunten op de lijn liggen.
Dat gaat traag. In 1974 kon de Amerikaanse wiskundige Norman Levinson aantonen dat meer dan een derde van de nulpunten op de lijn liggen. 15 jaar later krikte zijn landgenoot Brian Conrey het aantal op naar meer dan twee vijfde. Daarna duurde het 31 jaar om er nog eens 1,7 procentpunt bij te krijgen.
En dan kwam Claude
De chatbot Claude heeft het record nu verpulverd. Het deed er in één klap 25,6 procentpunt bij. De aanleiding kwam niet eens van een wiskundige, maar van Anthropic-programmeur Jarred Sumner. Hij vroeg Claude simpelweg om een serieuze poging te wagen om de hypothese op te lossen.
Bij de eerste poging ging het mis. Bij de tweede poging maakte Claude 60 kopieën van zichzelf en zette die aan het werk. Het legertje Claudes werkte anderhalve dag lang, voerde 2.400 opdrachten uit, schreef honderden programma’s en deed duizenden controles op bekende nulpunten. Een deel van de klonen had als enige taak om gaten te prikken in het werk van zijn collega’s.
Sumner zelf werd gereduceerd tot een coach die van de zijlijn aanmoedigingen riep. Claude zelf was namelijk sceptisch over zijn kansen en Sumners job was om het model te overtuigen dat het in zichzelf moest geloven. Raar maar waar.
Schrijf je in voor de nieuwsbrief! Ook elke dag vers het laatste wetenschapsnieuws in je inbox? Of elke week? Schrijf je hier in voor de nieuwsbrief!
Uiteindelijk levert het werk van Claude 31 miljoen tokens op, de tekstblokken waaruit een AI-antwoord is opgebouwd. Claude had recent werk van meerdere wiskundigen gecombineerd met oudere studies. Uiteindelijk kwam het model tot de conclusie dat niet elk punt afzonderlijk moet worden gelokaliseerd, maar dat alle punten samen in één wiskundig raamwerk gestoken moeten worden waarin punten op de lijn en punten ernaast tegen elkaar worden afgewogen. Uit die ‘weegschaal’ volgt dan hoeveel nulpunten er minstens op de lijn moeten liggen. Dat kan zonder van één individueel punt te weten waar het zit.
Daarna doorzocht Claude tientallen bestaande studies om te checken of mensen dit niet eerder hebben ontdekt. Andere klonen zochten intussen tegenargumenten of rekenden het resultaat opnieuw door vanaf nul. Ten slotte schreef Claude een studie. Het model stelde voor om het resultaat nog eens door een menselijke wiskundige te laten nakijken.
Het bewijs is omgezet in Lean, een programma dat elke logische stap machinaal narekent. De code staat openbaar op GitHub, samen met het artikel, een beknopte toelichting en de logboeken van het proces. Dat maakt de claim goed controleerbaar. Alleen: zo’n programma controleert of de conclusie volgt uit de aannames. Of de opgeschreven stelling ook echt steek houdt, moeten mensen nog vaststellen.
De hypothese blijft onopgelost
De Riemann-hypothese is dus nog niet bewezen. Volgens Anthropic zal deze aanpak daar wellicht ook niet voor zorgen. De uitdaging is nog altijd enorm: de overige 32,8 procent van de nulpunten zijn voorlopig spoorloos. Ze kunnen op de lijn liggen, of niet. Met onze huidige wiskundige kennis geraken we niet verder. Daarvoor is nieuwe wiskunde nodig. Simpelweg meer rekenkracht gebruiken, gaat niets uithalen.
En zelfs als uiteindelijk 100 procent wordt gehaald, zou dat in deze vorm nog altijd niet genoeg zijn om de Riemann-hypothese te bewijzen. Neem als voorbeeld de kwadraten: 1, 4, 9, 16, 25, enzovoort. Bij de eerste 100 getallen zitten 10 kwadraten, dus 10 procent. Bij de eerste 10.000 nog maar 100, dus één procent. Hoe verder je telt, hoe dichter hun aandeel bij nul komt. Toch houden ze nooit op; er zijn er oneindig veel.
Zouden de nulpunten naast de lijn net zo dun gezaaid zijn, dan komt de verhouding uit op 100 procent op de lijn. En toch zouden er oneindig veel uitzonderingen bestaan.
Wil je niets van Scientias missen? Voeg Scientias toe als voorkeursbron op Google dan zie je al onze verhalen!
Uitgelezen? Luister ook eens naar de Scientias Podcast:
English (US) ·