Grootste AI-doorbraak in de wiskunde tot nu toe verbluft wiskundigen

Een AI-model heeft een decenniaoud vermoeden van wiskundige Paul Erdős opgelost. Wiskundigen noemen het een belangrijke mijlpaal voor AI in de wiskunde.

Een wiskundig vermoeden dat ’s werelds beste wiskundigen al tachtig jaar lang bezighield, is gekraakt door een kunstmatige intelligentie van het bedrijf OpenAI. ‘Ik had nooit verwacht dat ik dit probleem zou zien worden opgelost in mijn leven’, zegt wiskundige Misha Rudnev van de Universiteit van Bristol in Engeland. ‘Het is echt een klapper.’

Wiskundige Tim Gowers van de Universiteit van Cambridge, ook in Engeland, noemt de AI-vondst in een blogbericht ‘een mijlpaal voor AI in de wiskunde’. Gowers: ‘Als een mens dit artikel had geschreven en had ingediend bij het wetenschappelijk tijdschrift Annals of Mathematics, en ik werd gevraagd om het te beoordelen, dan had ik zonder twijfel aanbevolen het te plaatsen. Geen enkel ander door AI bedacht bewijs is ook maar in de buurt hiervan gekomen.’

LEES OOK

De beste ideeën van de 21e eeuw: AI-architectuur

Het eerste kwart van deze eeuw zit erop. Sinds de eeuwwisseling zijn we dankzij de wetenschap veel te weten gekomen over onsz ...

Puzzelen

Stel, je hebt een oneindig groot vel papier en tekent daarop een willekeurig patroon van punten. Wat is dan het maximale aantal lijnen van gelijke lengte dat je tussen die punten kunt trekken? Dit vraagstuk heet het vlakke-eenheidsafstandsprobleem, oftewel het Planar Unit Distance Problem in het Engels. De Hongaarse wiskundige Paul Erdős (1913-1996) beschouwde deze wiskundige puzzel als zijn ‘meest opvallende bijdrage aan de meetkunde’.

Het probleem is eenvoudig uit te leggen, maar buitengewoon moeilijk op te lossen. Erdős vermoedde zelf dat het aantal verbindingen het hoogst is als de punten in een raster zijn gerangschikt. In dat geval zou het maximale aantal verbindingen slechts iets groter zijn dan het aantal punten zelf.

Latere pogingen om te bewijzen dat dit de bovengrens is, of juist om een betere opstelling van puntjes te vinden, leverden maar weinig op. De laatste doorbraak gebeurde meer dan veertig jaar geleden.

Ingewikkeld

Nu heeft AI laten zien dat Erdős er flink naast zat: door de punten in minder symmetrische patronen te plaatsen, ontstaan veel meer gelijke afstanden tussen punten. En dus een veel groter aantal gelijke verbindingen.

‘Mijn eerste reactie was ongeloof’, zegt wiskundige Will Sawin van de Princeton-universiteit in de VS. ‘Eerst dacht ik dat de manier waarop het AI-model het probleem probeerde op te lossen niet zou werken. Maar toen ik er beter naar keek, raakte ik ervan overtuigd dat het wél werkt. Vrij snel kwam ik tot de conclusie dat dit de belangrijkste prestatie van AI in de wiskunde tot nu toe is.’

OpenAI heeft niet bekendgemaakt hoe het gebruikte model precies verschilt van openbare AI-systemen, of hoe het is getraind. Sheryl Hsu, onderzoeker bij OpenAI, verklaarde wel dat het om een nieuw algemeen redeneermodel gaat, dat niet specifiek voor wiskunde is getraind.

De AI-methode maakte gebruik van een techniek uit de algebraïsche getaltheorie om enorme roosterstructuren samen te stellen in veel meer dimensies dan de twee dimensies van een plat vlak. Nadat het systeem deze complexere structuren had opgesteld en bekeken, bracht het ze weer terug naar twee dimensies. Op die manier ontstond een soort schaduw van de meerdimensionale vormen in het platte vlak.

‘Het resultaat is erg ingewikkeld’, zegt wiskundige Kevin Buzzard van Imperial College in Londen. ‘De onderliggende ideeën bestonden al wel, maar er is vindingrijkheid nodig om ze zo bij elkaar te brengen.’

Intellectuele uitdaging

De reden dat wiskundigen deze doorbraak niet zelf voor elkaar kregen, is deels doordat zij er niet over peinsden dat Erdős’ vermoeden onjuist kon zijn, zegt wiskundige Samuel Mansfield van de Universiteit van Manchester in Engeland. En zelfs als meetkundigen al probeerden het oorspronkelijke vermoeden te weerleggen, zijn er maar weinig met voldoende kennis van geavanceerde getaltheorie om daarin te slagen. ‘Dit is een probleem waarvoor je veel kennis moet hebben van meerdere vakgebieden’, zegt Mansfield. ‘Achteraf gezien is het misschien niet eens zo verrassend. Dit is precies het soort taak waar een AI bijzonder goed in kan zijn.’

Volgens Rudnev lag de aantrekkingskracht van het probleem vooral in de ‘pure intellectuele uitdaging’. Mogelijk heeft de doorbraak geen directe gevolgen voor andere openstaande wiskundige vraagstukken, maar hij inspireerde al wel nieuw onderzoek. Na het bestuderen van het bewijs, gebruikte Sawin dezelfde AI-methode om het maximale aantal punten dat met elkaar verbonden kan worden nóg iets beter in te schatten.

‘Zoals bij veel andere AI-doorbraken duurde het niet lang voor we de redeneringen wisten te doorgronden, begrijpen en verder te ontwikkelen’, zegt Buzzard. ‘Dat in tegenstelling tot sommige menselijke doorbraken, waarvan het maanden of zelfs jaren duurt voordat de wetenschappelijke gemeenschap ze weet te valideren.’